甲､乙两合机床加工同一规格（直径20.0 ）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，并整理如下：甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3；乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4规定误差不超过0.2 的零件为一级品，误差大于0.2 的零件为二级品. 附，其中 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

1. 甲､乙两合机床加工同一规格（直径20.0 $\text{[math]}$ ）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，并整理如下：甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3；乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4规定误差不超过0.2 $\text{[math]}$ 的零件为一级品，误差大于0.2 $\text{[math]}$ 的零件为二级品.

附 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1) 根据以上数据完成下面的 $\text{[math]}$ 列联表，并判断是否有95%的把握认为甲､乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异；

	一级品	二级品	总计
甲机床
乙机床
总计

(2) 从甲机床生产的18个零件中任取3个，再从乙机床生产的12个零件中任取2个，求在取到的零件中，甲机床生产的一级品恰好比乙机床生产的一级品多2个的概率.

【考点】

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率;

【答案】

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解答题普通

1. 2022年，我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我国专家突破难关，使得“10合1混采检测”情况下依然有效，即：每10人的咽拭子合进一个采样管一起检测.如果该采样管中检测出来的结果是阴性，就表示这10个人都是安全的.否则，立即对该混采的10个受检者暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定这10个人当中的阳性者.采用“10合1混采检测”模式，是为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，降低新冠肺炎疫情在本地扩散风险.

(1) 设感染率为 $\text{[math]}$ ， 10个人的咽拭子混合在一起检测时，求随机的10个一起检测的人所需检测的平均次数.

(2) 某地区共10万人，发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，预估新冠病毒感染率为万分之一，即为 $\text{[math]}$ ，先进行“10合1混采检测”，试估计这10万人所需检测的平均次数.并估计对这个地区，这样的混检比一人一检大约能少使用多少份检测试剂？

（注：感染率，即为每个人受感染的概率； $\text{[math]}$ ）

解答题普通

2. 甲､乙两人进行乒乓球比赛，两人约定打满 $\text{[math]}$ 局，赢的局数多者获得最终胜利，已知甲赢得单局比赛的概率为 $\text{[math]}$ ，设甲获得最终胜利的概率为 $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，并给出相应的证明.

解答题普通

3. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由 $\text{[math]}$ 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 $\text{[math]}$ ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于 $\text{[math]}$ 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 $\text{[math]}$ （例如： $\text{[math]}$ 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率； $\text{[math]}$ 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．

(1) 若每个元件正常工作的概率 $\text{[math]}$ ．

（i）当 $\text{[math]}$ 时，求控制系统中正常工作的元件个数 $\text{[math]}$ 的分布列和期望；

（ii）计算 $\text{[math]}$ ．

(2) 已知设备升级前，单位时间的产量为 $\text{[math]}$ 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为 $\text{[math]}$ ，每件高端产品的利润是2元．请用 $\text{[math]}$ 表示出设备升级后单位时间内的利润 $\text{[math]}$ （单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．

解答题困难