类比探究.

1. 类比探究.

(1) 填空：

（a﹣b）（a+b）＝；

（a﹣b）（a²+ab+b²）＝；

（a﹣b）（a³+a²b+ab²+b³）＝；

…

（a﹣b）（a²⁰²²+a²⁰²¹b+…+ab²⁰²¹+b²⁰²²）＝.

(2) 猜想：（a﹣b）（a^n﹣¹+a^n﹣²b+…+ab^n﹣²+b^n﹣¹）＝（其中n为正整数，且n≥2）.

(3) 利用（2）中猜想的结论计算：2⁹﹣2⁸+2⁷﹣…+2³﹣2²+2.

【考点】

多项式乘多项式; 平方差公式及应用; 探索数与式的规律;

【答案】

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综合题困难

1. 18世纪欧拉引进了求和符号“ $\text{[math]}$ ”（其中 $\text{[math]}$ ，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义： $\text{[math]}$ 表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即 $\text{[math]}$ ．例如：当i=1时， $\text{[math]}$ ．

(1) ① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 中和为45的是；（填写编号）

(2) $\text{[math]}$ ；

(3) $\text{[math]}$ ；（用含n的式子表示）

(4) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

综合题困难

2. 通过一次数学活动我们发现，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10，那么这样的两位数相乘会有如下规律：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，积的末两位数是个位数字的乘积，前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．

(1) 若有两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10的两个数的乘积为4221，请你利用小组发现的规律写出这两个数×；

(2) 若设这两个两位数相同的十位数字为a，个位数字分别设为b、d，请你用学过的知识证明十位数字相同，个位数字的和为10的这样的两位数的乘积的一般规律．

证明： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$

综合题困难

3. 对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．

(1) 【简单问题】化简

$\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ ；

(3) $\text{[math]}$ ；

(4) 【复杂问题】化简

$\text{[math]}$ ；

(5) 【方法应用】计算

$\text{[math]}$ ．

综合题困难