已知直三棱柱中，侧面为正方形. ， D，E分别为AC和上的点，且，， F为棱上的点，.

1. 已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形. $\text{[math]}$ ， D，E分别为AC和 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， F为棱 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时，平面 $\text{[math]}$ 与平面DEF所成的二面角的正弦值最小？

【考点】

用空间向量研究直线与直线的位置关系; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图1，已知正三角形 $\text{[math]}$ 边长为6，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现沿着 $\text{[math]}$ 翻折，将点 $\text{[math]}$ 翻折到点 $\text{[math]}$ 处，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，如图2．

(1) 求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．

解答题困难

2. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，取直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的方向向量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角为 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值.

解答题普通

3. 如图所示，半圆柱的轴截面为平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆柱底面的直径， $\text{[math]}$ 为底面圆心， $\text{[math]}$ 为一条母线， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

解答题普通