为了研究行星的磁场对宇宙高能粒子及行星生态环境的作用，研究小组建立了以下模型，如图所示，在圆心为O1半径为R的接地的金属圆柱外，有一个匀强磁场均匀的分布在半径为R、2R的两边界1、II之间的圆环区域内，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B（未知）．在磁场左侧有一长为4R的带状粒子源，中点为O2 ，可以放出速度大小为v。、方向平行O1O2连线的带正电粒子，带电粒子沿线均匀分布，每单位时间放出的粒子数为n0已知带电粒子的比荷为，不计重力及任何阻力。求：

1. 为了研究行星的磁场对宇宙高能粒子及行星生态环境的作用，研究小组建立了以下模型，如图所示，在圆心为O₁半径为R的接地的金属圆柱外，有一个匀强磁场均匀的分布在半径为R、2R的两边界1、II之间的圆环区域内，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B（未知）．在磁场左侧有一长为4R的带状粒子源，中点为O₂ ，可以放出速度大小为v。、方向平行O₁O₂连线的带正电粒子，带电粒子沿线均匀分布，每单位时间放出的粒子数为n₀已知带电粒子的比荷为 $\text{[math]}$ ，不计重力及任何阻力。求：

(1) 若从O₂点放出的粒子，恰好能被金属圆柱接收到，则磁感应强度B的大小；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，则圆柱在单位时间内接收到的粒子数n₁；

(3) 若 $\text{[math]}$ 某粒子在磁场中轨迹恰好与金属圆柱内切时，则该粒子进入磁场的位置与O₁O₂连线间的距离。

【考点】

带电粒子在匀强磁场中的运动;

【答案】

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综合题困难

1. 有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为 $\text{[math]}$ 的带正点的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v₀的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重点，忽略磁场突变的影响。

(1) 求OK间的距离；

(2) 速率为4v₀的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离；

(3) 速率为4v₀的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时O点。求打开磁场的那一时刻。

综合题困难

2. 如图所示，在xOy平面内的第二象限有一个圆形匀强磁场区域，其边界与x轴相切于A（ $\text{[math]}$ ， 0）点，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B=1T，磁场区域的半径为R=2m，第一象限内有一条抛物线OQP（图中虚线所示），P（4m，0）是x轴上的一点，抛物线OQP上方存在沿y轴负方向的匀强电场，场强E=3×10³V/m，从A点向第二象限发射大量带正电的某种粒子，粒子的速率均为v₀（未知），质量均为m=2×10^-7kg，电荷量均为q=1×10^-4C，所有粒子均可到达P点，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。

(1) 已知粒子1沿与x轴正方向成θ₁=60°的方向进入磁场后平行于x轴从磁场中射出，求初速度v₀的大小；

(2) 粒子2沿与x轴正方向成θ₂=120°的方向进入磁场，求它从A点运动到P点所用的时间t（结果保留2位有效数字）；

(3) 求电场的边界线OQP的轨迹方程。

综合题普通

3. 类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，其电势差 $\text{[math]}$ 。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角 $\text{[math]}$ 射向Ⅰ区，在P点以出射角 $\text{[math]}$ 射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角 $\text{[math]}$ 射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为 $\text{[math]}$ ，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。

(1) 若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）

(3) 计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）

(4) 在P点下方距离 $\text{[math]}$ 处水平放置一长为 $\text{[math]}$ 的探测板 $\text{[math]}$ （Q在P的正下方）， $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且 $\text{[math]}$ ，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。

综合题困难