已知( ， )的展开式的第五､六､七项的二项式系数成等差数列.

1. 已知 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )的展开式的第五､六､七项的二项式系数成等差数列.

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，求： $\text{[math]}$ (其中 $\text{[math]}$ 为小于等于 $\text{[math]}$ 的最大奇数).

【考点】

等差数列的性质; 组合及组合数公式; 二项式定理; 二项式系数的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 对于无穷数列 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，则称 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 数列”.

(1) 若数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，试判断数列 $\text{[math]}$ 是否为“ $\text{[math]}$ 数列”，并说明理由；

(2) 已知数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，

①若 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 数列”， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 所有可能的取值；

②若对任意 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，求证：数列 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 数列”.

解答题普通

(1) 计算： $\text{[math]}$ ；

(2) 解方程： $\text{[math]}$

解答题普通

(1) 已知 $\text{[math]}$ 是自然数， $\text{[math]}$ 是正整数，且 $\text{[math]}$ .证明组合数性质： $\text{[math]}$ ；

(2) 按（1）中的组合数性质公式，有 $\text{[math]}$ .请自编一个计数问题，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据.

解答题普通