如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，AE平分∠BAC.

1. 如图，在Rt $\text{[math]}$ ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，AE平分∠BAC.

(1) 求证：BC是⊙O的切线.

(2) 若∠EAB＝30°，OD＝5，求图中阴影部分的周长.

【考点】

等腰三角形的性质; 含30°角的直角三角形; 切线的判定; 弧长的计算; 角平分线的概念;

【答案】

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综合题普通

1. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点C为圆周上一点，连接 $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，作 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则CD的长为．

综合题普通

2. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：点A在 $\text{[math]}$ 上．

求作： $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ．

作法： ①作射线 $\text{[math]}$ ；

②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线 $\text{[math]}$ 于点C和点D；

③分别以点C，D为圆心，大于 $\text{[math]}$ 长为半径作弧，两弧交点B；

④作直线 $\text{[math]}$ ．

则直线 $\text{[math]}$ 即为所求作的 $\text{[math]}$ 的切线.

根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

(1) 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2) 完成下面的证明.

证明：连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

由作图可知，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ▲ ．

∴ $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ．

∵ 点A在 $\text{[math]}$ 上，

∴直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线（） (填写推理依据) ．

综合题普通

3. 如图，在半径为4的⊙O中，E为 $\text{[math]}$ 的中点，OE交BC于F，D为⊙O上一点，DE交AC于G，AD＝AG．

(1) 求证：AD是⊙O的切线；

(2) 若∠A＝60°，求ED的长．

综合题普通