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1. 用火柴棒按图中的方式搭图形：

按图示规律填空：

图形标号

①

②

③

④

⑤

火柴棒根数

5

9

13

a

b
(1) ， ；
(2) 按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为；（用含n的代数式来表示）
(3) 按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2021个图形需要的火柴棒根数．
【考点】
探索数与式的规律; 探索图形规律;
【答案】

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综合题 普通
能力提升
真题演练
换一批
1. 学校体育节要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？

构建模型：

生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．

为解决上述问题，我们构建如下数学模型：

   

（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛．

（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，可知一共要安排______场比赛；

（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛．

实际应用：

（4）老师为了让数学兴趣班的同学互相认识，请班上35位同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手_______次．

拓展提高：

（5）往返于深圳和潮汕的同一辆高速列车，中途经惠州、陆丰、普宁、潮阳4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备多少种车票：请你求出来．
综合题 普通
2. 【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？

【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：

(1) 探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？

如图1，当n＝0时，图中线段有：线段AB，共1条线段；

如图2，当n＝1时，以A为端点的线段有：线段AC和线段AB，共2条线段；以C为端点的有：线段CB，共1条线段，故图中共有条线段；

如图3，当n＝2时，以A为端点的线段有：线段AC，线段AD和线段AB，共3条线段；以C为端点的有：线段CD和线段CB，共2条线段；以D为端点的有：线段DB，共1条线段，故图中共有条线段；

……

小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成条线段．（用含n的代数式表示）
(2) 探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？

首先我们先探究宽上不设置点的情况．

如图4-1，当 ， 时，图中一共有1个长方形．

如图4-2，当 ， 时，图中一共有3个长方形．

如图4-3，当 ， 时，图中一共有6个长方形．

……

小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有个长方形．（用含m的代数式表示）

同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有个长方形．（用含n的代数式表示）

如图5-1，当 ， 时，长上共形成3条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）．

如图5-2，当 ， 时，长上共形成3条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）．

如图5-3，当 ， 时，长上共形成6条线段，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）．

如图5-4，当 ， 时，长上共形成6条线段，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）．

……

小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示）
(3) 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果）
综合题 困难
3. 观察下列等式．

第1个等式；

第2个等式；

第3个等式；

第4个等式；

……

按照以上规律，解决下列问题：

(1) 第5个等式为．
(2) 猜想第n个等式为（用含n的式子表示）．
(3) 观察下列各图，“·”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如：当时， ， ；当时， ， ；当时， ， ；…当时，求的值．
综合题 普通