已知双曲线经过点（2，3），两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于A，B两点.

1. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 经过点（2，3），两条渐近线的夹角为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交双曲线于A，B两点.

(1) 求双曲线C的方程.

(2) 若直线l过双曲线的右焦点 $\text{[math]}$ ，在x轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 无论怎样转动，都有 $\text{[math]}$ 成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】

直线的点斜式方程; 双曲线的定义; 双曲线的标准方程; 双曲线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 椭圆 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 且与椭圆交于 $\text{[math]}$ 两点．

(1) 当直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 当 $\text{[math]}$ 点恰好为线段 $\text{[math]}$ 的中点时，求 $\text{[math]}$ 的方程．

解答题普通

2. 已知 $\text{[math]}$ 1，当k为何值时：

(1) 方程表示双曲线；

(2) 表示焦点在x轴上的双曲线；

(3) 表示焦点在y轴上的双曲线．

解答题普通

3. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．

①与直线 $\text{[math]}$ 垂直；②过点 $\text{[math]}$ ；③与直线 $\text{[math]}$ 平行．

问题：已知直线l过点 $\text{[math]}$ ，且____．

(1) 求直线l的一般式方程；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ， O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得 $\text{[math]}$ 最大．

解答题普通