通过估算比较大小：

1. 通过估算比较大小：

(1) $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$

【考点】

无理数的大小比较; 无理数的估值;

【答案】

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综合题普通

1. 对于任何实数 $\text{[math]}$ ，可用 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数，如 $\text{[math]}$ .

(1) 则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；

(2) 现对119进行如下操作： $\text{[math]}$ ，这样对119只需进行3次操作后变为1.

$\text{[math]}$ 对15进行1次操作后变为 ▲ ，对200进行3次操作后变为 ▲ ；

$\text{[math]}$ 对实数 $\text{[math]}$ 恰进行2次操作后变成1，则 $\text{[math]}$ 最小可以取到 ▲ ；

$\text{[math]}$ 若正整数 $\text{[math]}$ 进，3次操作后变为1，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

综合题困难

2. 阅读下面的文字，解答问题：

大家知道 $\text{[math]}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\text{[math]}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 $\text{[math]}$ 来表示 $\text{[math]}$ 的小数部分，因为 $\text{[math]}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如： $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\text{[math]}$ .

请解答：

(1) $\text{[math]}$ 的整数部分是，小数部分是.

(2) 已知 $\text{[math]}$ 的小数部分为 $\text{[math]}$ 的小数部分为 $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ 的值.

综合题普通

3. 阅读下面的文字，解答问题：

大家知道 $\text{[math]}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\text{[math]}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 $\text{[math]}$ 来表示 $\text{[math]}$ 的小数部分，因为 $\text{[math]}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，即2＜ $\text{[math]}$ ＜3，∴ $\text{[math]}$ 的整数部分为2，小数部分为（ $\text{[math]}$ ﹣2）．

请解答：

(1) $\text{[math]}$ 的整数部分是，小数部分是；

(2) 已知（ $\text{[math]}$ ）的小数部分为 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ）的小数部分为 $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通