如图，正方形内接于，为上的一点，连接， .

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接正 $\text{[math]}$ 边形的一边，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

圆心角、弧、弦的关系; 圆周角定理; 圆内接四边形的性质; 圆内接正多边形; 正多边形的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 已知：如图，点M为锐角∠APB 的边PA上一点．

求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．

作法：

①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；

②作射线MD．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：∵P、C、D都在⊙M 上，

∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，

∴∠P＝ $\text{[math]}$ ∠CMD（）（填推理依据）．

∴∠AMD＝2∠P．

综合题普通

2. 小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质.

(1) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与⊙O相切于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为⊙O上不同于 $\text{[math]}$ 的两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请你写出图中的两个弦切角；（不添加新的字母和线段）

(2) 小锐目测 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？

已知：如图，直线 $\text{[math]}$ 与⊙O相切于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆上不同于 $\text{[math]}$ 的两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

求证： $\text{[math]}$ .

(3) 如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理.

综合题普通

3. 已知某种月饼形状的俯视图如图1所示，该形状由1个正六边形和6个半圆组成，半圆直径与正六边形的边长相等.

现商家设计了2种棱柱体包装盒，其底面分别为矩形和正六边形(如图2和图3)我们可从底面的利用率来记算整个包装盒的利用情况.(底面利用率= $\text{[math]}$ ×100%)

(1) 请分别计算出图2与图3中的底面利用率(结果保留到0.1%)；

(2) 考虑到节约成本，商家希望底面利用率能够不低于80%，且底面图形仍然采用最基本的几何形状，请问商家的要求是否能够满足，若可以满足，请设计一种方案，并直接写出此时的利用率；若不能满足，请说明理由.

综合题困难