已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）.

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两非零有理数列（即对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为有理数）， $\text{[math]}$ 为一无理数列（即对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为无理数）.

(1) 已知 $\text{[math]}$ ，并且 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，试求 $\text{[math]}$ 的通项公式.

(2) 若 $\text{[math]}$ 为有理数列，试证明：对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立的充要条件为 $\text{[math]}$ .

(3) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，试计算 $\text{[math]}$ .

【考点】

数列的函数特性; 数列的递推公式;

【答案】

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解答题普通

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 是公比为2的等比数列．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 令 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．

解答题普通

2. 已知数列 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . 记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和分别为 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，写出所有满足条件的数列 $\text{[math]}$ ，并说明理由；

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ . 证明： $\text{[math]}$ ，

使得 $\text{[math]}$ .

解答题困难

3. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，求 $\text{[math]}$ .

解答题普通