如图，直四棱柱，底面是边长为2的菱形，，，点在平面上，且平面 .

1. 如图，直四棱柱 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

【考点】

点、线、面间的距离计算; 用空间向量研究直线与平面所成的角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求四面体 $\text{[math]}$ 的体积；

(2) 在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值是 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由.

解答题普通

2. 将一边长为 $\text{[math]}$ 的正六边形沿 $\text{[math]}$ 对折，然后将它倒放在水平面上，就构成了如图乙所示的五面体，底面 $\text{[math]}$ 是正方形.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的正弦值；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的正弦值.

解答题普通

3. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面；

(2) 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦的最大值.

解答题普通