在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考：课本研究三角形中位线性质的方法已知：如图①，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点．求证：DE∥BC，DE= BC．证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC．…则△ADE≌△CFE．∴…请你利用小亮的发现解决下列问题：

1.

在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考：

课本研究三角形中位线性质的方法

已知：如图①，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点．求证：DE∥BC，DE= $\text{[math]}$ BC．

证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC．…则△ADE≌△CFE．∴…

请你利用小亮的发现解决下列问题：

(1) 如图③，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．

请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程：

(2) 解决问题：如图⑤，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线．过点D，E作DF∥EG，分别交BC于点F，G，过点A作MN∥BC，分别与FD，GE的延长线交于点M，N，则四边形MFGN周长的最小值是．

【考点】

三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题普通

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．对于点 $\text{[math]}$ 给出如下定义：将点 $\text{[math]}$ 先向右 $\text{[math]}$ 或向左 $\text{[math]}$ 平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再向上 $\text{[math]}$ 或向下 $\text{[math]}$ 平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，称点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的“欢乐点”．

(1) 如图，点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上．若点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的“欢乐点”．

①在图中画出点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ；

②连接 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) ⊙O的半径为1， $\text{[math]}$ 是⊙O上一点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜1），若 $\text{[math]}$ 为⊙O外一点，点 $\text{[math]}$ 为点P的“欢乐点”，连接 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 在⊙O上运动时，直接写出 $\text{[math]}$ 长的最大值与最小值的差（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）．

综合题普通

2. 锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，点E在边AB上.

①如果DE∥BC，那么DE＝ $\text{[math]}$ BC.
②如果DE＝ $\text{[math]}$ BC，那么DE∥BC.
判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例.

综合题普通

3. 在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考：

请你利用小亮的发现解决下列问题：

(1) 如图1，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于E，且AE=EF，求证：AC=BF．

请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程：

(2) 解决问题：如图2，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，过点D、E作DF∥EG，分别交BC于F、G，过点A作MN∥BC，分别与FE、GE的延长线交于M、N，则四边形MFGN周长的最小值是．

综合题普通