开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立．如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T．月球的半径为R，引力常量为G．某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆．A、O、B三点在一条直线上．求：

1. 开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立．如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T．月球的半径为R，引力常量为G．某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆．A、O、B三点在一条直线上．求：

(1) 月球的密度；

(2) 在轨道Ⅱ上运行的时间．

【考点】

开普勒定律; 万有引力定律的应用;

【答案】

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综合题普通

1. 牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题：

(1) 某质量为 $\text{[math]}$ 的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，若行星在近日点与太阳中心的距离为 $\text{[math]}$ ，在远日点与太阳中心的距离为 $\text{[math]}$ 。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比；

(2) 实际上行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动。设行星与太阳的距离为 $\text{[math]}$ ，请根据开普勒第三定律 $\text{[math]}$ 及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平方成反比

(3) 我们知道，地球表面不同位置的重力加速度大小略有不同。若已知地球质量为 $\text{[math]}$ ，自转周期为 $\text{[math]}$ ，万有引力常量为 $\text{[math]}$ 。将地球视为半径为 $\text{[math]}$ 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在赤道地面附近重力加速度大小为 $\text{[math]}$ ，在北极地面附近重力加速度大小为 $\text{[math]}$ ，求比值 $\text{[math]}$ 的表达式。

综合题普通

2. 万有引力定律清楚地向人们揭示，复杂运动隐藏着简洁的科学规律；它明确地向人们宣告，天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则；它可以计算两个质点间的万有引力，或球体之间的万有引力。已知地球的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。

(1) 不考虑地球的自转，求地球表面附近的重力加速度大小。

(2) 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。求深度为d的矿井底部的重力加速度大小。

(3) 电影《流浪地球》中的人们住在“地下城”。假设“地下城”建在半径为r的巨大空腔中，空腔与地球表面相切，如图所示。O和O′分别为地球和空腔的球心，地球表面上空某处P离地球表面的距离为H，空腔内另一处Q与球心O′的距离为L，P、Q、O′和O在同一直线上。对于质量为m的人，求

①在P处受到地球的万有引力大小；

②在Q处受到地球的万有引力大小。

综合题普通

3. 卫星发射进入预定轨道时往往需要进行多次轨道调整。如图所示，某次发射任务中先将卫星送至近地圆轨道，然后卫星从圆轨道上A点加速，控制卫星进入椭圆轨道，最后在B点进入距地高为6R的预定圆形高轨道运动，其中A、B分别是两个圆轨道与椭圆轨道相切之处。已知卫星从A点到B点所需的时间为t₀ ，地球半径为R。假定卫星在两个圆轨道上稳定运行时均做匀速圆周运动，求：

(1) 卫星在高轨道上运行时的周期；

(2) 地表的重力加速度。

综合题普通