如图，在等腰中，，延长至点，连结，过点作于点，为上一点，，连结， .

1. 如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长.

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 等腰直角三角形; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题普通

1. 如图（1）， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的中线，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是直角三角形.

(2) 如图（2），若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小.

(3) 若 $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ 是等边三角形，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系.

综合题困难

2. 图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到过点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC＝2.0分米．

(1) 求AP长的取值范围；

(2) 当∠CPN＝60°时，求AP的值．

综合题普通

3. 如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．

(1) 求证：△AEF是等边三角形；

(2) 求证：BE=EF．

综合题普通