已知函数f（x）=logax+b，f（x）恒过点（1，1），且f（e）=2．

1. 已知函数f（x）=log_ax+b，f（x）恒过点（1，1），且f（e）=2．

(1) 求f（x）的解析式；

(2) 若f（x）≤kx对∀x＞0都成立，求实数k的取值范围；

(3) 当x₂＞x₁＞1时，证明：x₂（x₁﹣1）lnx₂＞x₁（x₂﹣1）lnx₁ ．

【考点】

对数函数的图象与性质;

【答案】

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解答题普通

1. 对数函数 $\text{[math]}$ 与一次函数 $\text{[math]}$ 的图象有 $\text{[math]}$ 两个公共点，求一次函数的解析式.

解答题普通

2. 已知函数y=log₂（ax²﹣2x+2）的定义域为Q．

(1) 若a＞0且[2，3]∩Q=∅，求实数a的取值范围；

(2) 若[2，3]⊆Q，求实数a的取值范围．

解答题普通

3. 已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1﹣x）（a＞0，且a≠1）．设F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）﹣g（x），解决下列问题：

(1) 求函数F（x）的定义域；

(2) 证明F（x）为偶函数；并求F（x）的值域；

(3) 证明G（x）为奇函数；并判断函数G（x）的单调性．

解答题普通