某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，为铅垂线( 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 (米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 (米)与F到的距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到的距离为40米.

1. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行， $\text{[math]}$ 为铅垂线( $\text{[math]}$ 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 $\text{[math]}$ (米)与D到 $\text{[math]}$ 的距离a(米)之间满足关系式 $\text{[math]}$ ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 $\text{[math]}$ (米)与F到 $\text{[math]}$ 的距离b(米)之间满足关系式 $\text{[math]}$ .已知点B到 $\text{[math]}$ 的距离为40米.

(1) 求桥AB的长度；

(2) 计划在谷底两侧建造平行于 $\text{[math]}$ 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 $\text{[math]}$ (万元)(k>0).问 $\text{[math]}$ 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?

【考点】

利用导数研究函数最大（小）值; 平面内两点间的距离公式;

【答案】

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解答题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ 。

（Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有极值点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 。

解答题困难

3. 已知函数f（x）=xlnx- $\text{[math]}$ x²-ax+l，a>0，函数g（x）=f'（x）.

(1) 若a=ln2，求g（x）的最大值；

(2) 证明：f（x）有且仅有一个零点.

解答题普通