如图，已知∠XOY=90°，等边三角形PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一个顶点B在∠XOY的内部．

1. 如图，已知∠XOY=90°，等边三角形PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一个顶点B在∠XOY的内部．

(1) 当顶点P在射线OY上移动到点P₁时，连接AP₁ ，请用尺规作图；在∠XOY内部作出以AP₁为边的等边△AP₁B₁（要求保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；

(2) 设AP₁交OB于点C，AB的延长线交B₁P₁于点D．求证：△ABC∽△AP₁D；

(3) 连接BB₁ ，求证：∠ABB₁=90°．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS; 尺规作图-作三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1) 求证：△ADE∽△ABC；

(2) 若AD=3，AB=5，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 如图1，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

(1) 如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 和左 $\text{[math]}$ 都是直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通