已知，如图1，在中，AC=BC，点D是边AB的中点，E，F分别是AC和BC的中点，分别以CE，CF为一边向上作两个全等的矩形CEGH和矩形CFMN（其中EG=FM），依次连结DG、DM、GM。

1.

已知，如图1，在 $\text{[math]}$ 中，AC=BC，点D是边AB的中点，E，F分别是AC和BC的中点，分别以CE，CF为一边向上作两个全等的矩形CEGH和矩形CFMN（其中EG=FM），依次连结DG、DM、GM。

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形。

(2)

如图2，若将上图中的两个全等的矩形改为两个全等的正三角形（ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ )，其他条件不变。请探究 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由。

(3)

若将上图中的两个全等的矩形改为两个正方形，并把 $\text{[math]}$ 中的边BC缩短到如图3形状，请探究 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由。

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等腰三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 矩形的性质; 三角形的中位线定理;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点之间的部分与线段 $\text{[math]}$ 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段 $\text{[math]}$ 称为碟宽，顶点 $\text{[math]}$ 称为碟顶．

(1) 由定义知，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系是．

(2) 抛物线 $\text{[math]}$ 对应的准蝶形必经过 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，对应的碟宽 $\text{[math]}$ 是．

(3) 抛物线 $\text{[math]}$ 对应的碟宽在 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ ．

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为锐角，若有，请求出 $\text{[math]}$ 的取值范围．若没有，请说明理由．

解答题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D，E分别在边AB，AC上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.

解答题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论.

解答题普通