已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．

1.

已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．

(1) 如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；

(2) 如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．

①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；

②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．

【考点】

等腰直角三角形;

【答案】

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综合题普通

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，AB=15，动点P从点A出发，沿AC→CB→BA边运动，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位，直线l从与AC重合的位置开始，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．

(1) 当t=秒时，△PCE是等腰直角三角形；

(2) 当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点P₁落在EF上，点F的对应点为F₁ ，当EF₁⊥AB时，求t的值；

(3) 作点P关于直线EF的对称点Q，在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值；

(4) 在整个运动过程中，设△PEF的面积为S，请直接写出S的最大值．

综合题困难

2. 已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）

如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．

①求证：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．

拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

综合题困难

3. 已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．

当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；

(2) 在（1）的条件下，若DE：AE：CE=1： $\text{[math]}$ ：3，求∠AED的度数；

若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF= $\text{[math]}$ ，求CN的长．

综合题普通