如图1，△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E.

1. 如图1，△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E.

(1) 求证：AE＝3EB

(2) 若点F是AD的中点，点P是BC边上的动点，连接PE，PF，如图2所示，求PE＋PF的最小值及此时BP的长；

(3) 在（2）的条件下，连接EF，当PE＋PF取最小值时，△PEF的面积是.

【考点】

三角形的面积; 等边三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 轴对称的应用-最短距离问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，点 $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 内一点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外的一点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：

(1) t为多少时， $\text{[math]}$ 是等边三角形？

(2) P、Q在运动过程中， $\text{[math]}$ 的形状不断发生变化，当t为多少时， $\text{[math]}$ 是直角三角形？请说明理由.

综合题困难

3. 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.

(1) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为：.

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的高 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比是： .

(3) 如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D，P分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为点E，F.若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题普通