如图1，在中，，，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且，连接MP交AC于点H.将射线MP绕点M逆时针旋转交线段CA的延长线于点D.

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接MP交AC于点H.将射线MP绕点M逆时针旋转 $\text{[math]}$ 交线段CA的延长线于点D.

(1) 找出与 $\text{[math]}$ 相等的角，并说明理由.

(2) 如图2， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求线段AB的长.

【考点】

全等三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 旋转的性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1) 求证：△ADE∽△ABC；

(2) 若AD=3，AB=5，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

(1) 已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长；

(2) 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC， ∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；

(3) 如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求 $\text{[math]}$ 的值。

综合题困难

3. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是斜边BC的中点，BN⊥AM ，垂足为点N ，且BN的延长线交AC于点D ．

(1) 求证：△ABC∽△ADB；

(2) 如果BC=20，BD=15，求AB的长度．

综合题普通