如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．

1. 如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．

(1) 求证：PB是⊙O的切线；

(2) 若∠APC=3∠BPC，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

切线的判定与性质; 圆的综合题; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，等腰 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 上的点（不与点A ， C重合）连接BE ，并延长至点G ，连接AE并延长至点F ， BE与AC相交于点D.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 的半径为5， $\text{[math]}$ ，点D是AC的中点，求BD的长.

综合题困难

2. 如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交 $\text{[math]}$ 于点F，交过点C的切线于点D．

(1) 求证：DC=DP；

(2) 若∠CAB=30°，当F是 $\text{[math]}$ 的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

综合题困难

3. 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．

(1) 求证：AC平分∠DAB；

(2) 连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通