小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点，分别在菱形的边，上，，求证： .

1. 小敏思考解决如下问题：

原题：如图1，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在菱形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

(1) 小敏进行探索，若将点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置特殊化：把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转得到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，如图2，此时她证明了 $\text{[math]}$ .请你证明.

(2) 受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请你继续完成原题的证明.

(3) 如果在原题中添加条件： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图1.请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）.

【考点】

全等三角形的判定与性质; 菱形的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．

(1) 当MN∥B′D′时，求α的大小．

(2) 如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．

综合题困难

2. 小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证AP=AQ。

(1) 小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2，此时她证明了AE=AF。请你证明。

(2) 受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F。请你继续完成原题的证明。

(3) 如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案。

综合题普通

3. 如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E.

(1) 证明△BCM≌△CAN；

(2) ∠AEM=°；

(3) 求证DE平分∠AEC；

(4) 试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明.

综合题普通