学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理．【理解定理】（1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____；【问题解决】（2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分；【变式应用】（3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且．求和的面积和．

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1. 学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理．

【理解定理】

（1）如图1，已知 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _____；

【问题解决】

（2）如图2，点B，D，C分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上的一点，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；

【变式应用】

（3）如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，E，F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积和．

【考点】

三角形的面积; 三角形全等及其性质; 角平分线的性质; 勾股定理; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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【来源】浙江省初中名校发展共同体期中联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

实践探究题困难

1. 如图， OC 是∠AOB 的平分线， P 是OC 上的一点， PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为 D， E. F 是OC上的另一点，连接DF， EF. 求证DF=EF.

证明题容易

2. 如图，在△ABC 中， AD 是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E， F. 求证EB=FC.

证明题容易

3. 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线.求证S△ABD ：S△ACD=AB：AC.

证明题容易