设为正整数，为实数，记，在，变动的情况下，求可能取得的最小整数值，并求出取得最小整数值时，的值．

1. 设 $\text{[math]}$ 为正整数， $\text{[math]}$ 为实数，记 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 变动的情况下，求 $\text{[math]}$ 可能取得的最小整数值，并求出 $\text{[math]}$ 取得最小整数值时 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

配方法的应用; 竞赛类试题;

【答案】

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解答题普通

1. 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：关于 $\text{[math]}$ 的多项式 $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ ，所以当 $\text{[math]}$ 取任意一对互为相反数的数时，多项式 $\text{[math]}$ 的值是相等的，例如，当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值均为3；当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 或-1时， $\text{[math]}$ 的值均为6，于是小明给出一个定义：关于 $\text{[math]}$ 的多项式，若当 $\text{[math]}$ 取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于 $\text{[math]}$ 对称，例如 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称．

请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：

(1) 多项式 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称；

(2) 若关于 $\text{[math]}$ 的多项式 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 若整式 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称，试直接写出实数 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 定义：若一个整数能表示成 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为 $\text{[math]}$ ．再如， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是整数），所以 $\text{[math]}$ 也是“平和数”．

解决问题：

(1) 请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）；

(2) 若二次三项式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是整数）是“平和数”，可配方成 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数），则 $\text{[math]}$ _____．

(3) 已知“平和数” $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是整数）的值为0，则 $\text{[math]}$ 的值为_____；

(4) 已知 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是整数， $\text{[math]}$ 是常数），要使 $\text{[math]}$ 为“平和数”，请写出符合条件的 $\text{[math]}$ 的值_____；

(5) 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题普通

3. 选取二次三项式 $\text{[math]}$ 中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．

例如：①选取二次项和一次项配方： $\text{[math]}$ ；

②选取二次项和常数项配方： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ；

③选取一次项和常数项配方： $\text{[math]}$ ．

根据上述材料，解决下面问题：

(1) 求代数式 $\text{[math]}$ 最小值；

(2) 写出代数式 $\text{[math]}$ 的两种不同形式的配方；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通