如图，已知：和都是等边三角形，点分别是上的点，点是线段延长线上的一点，连接．

1. 如图，已知： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 上的点，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图2，在（2）的条件下，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长至 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形．

【考点】

平行线的判定; 等边三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题普通

1. 已知： $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 并延长至点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ .

图1 图2 图3

(1) 如图 1，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图 2，当 $\text{[math]}$ 时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论：；

(3) 如图 3，在（2）的条件下，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，

且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

2. 如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．

（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；

（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；

（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．

综合题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点P，若点C在 $\text{[math]}$ 上.

(1) $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

综合题普通