如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点的横坐标为，过点作轴于点，与交于点．

1. 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求这个二次函数的表达式；

(2) 将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，判断点 $\text{[math]}$ 是否落在抛物线上，并说明理由；

(3) 求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(4) 如果 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，直接写出点 $\text{[math]}$ 的横坐标 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 旋转的性质; 二次函数-线段周长问题; 二次函数-特殊三角形存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线和直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 在抛物线的对称轴上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使线段 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一点．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在抛物线上时，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ ，其顶点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，并将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，

(1) 当抛物线过点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 当抛物线与 $\text{[math]}$ 的边（包括端点）有且只有两个交点时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难