如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O ， ∠ADC的平分线DE分别交AC、BC于点N、M ，交AB的延长线于点E ， F为EM的中点，连结AF、BF、CF ， AF分别交BD、BC于点G、H ．

1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O ， ∠ADC的平分线DE分别交AC、BC于点N、M ，交AB的延长线于点E ， F为EM的中点，连结AF、BF、CF ， AF分别交BD、BC于点G、H ．

(1) 求证：AE＝BC；

(2) 探究AF与CF的关系，并说明理由；

(3) 若AD＝8，CD＝6，求OG的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 同时出发，点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动；点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度沿折线 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动．设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ ，在运动过程中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 经过的路线与线段 $\text{[math]}$ 围成的图形面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ °；

(2) 求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式，并写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 如图①，有一组平行线l₁∥l₂∥l₃∥l₄ ，正方形ABCD的四个顶点分别在l₁、l₂、l₃、l₄上，EG过点D且垂直于l₁于点E，分别交l₂、l₄于点F、G，EF＝DG＝1，DF＝2.

(1) AE＝，正方形ABCD的边长＝；

(2) 如图②，将∠AED绕点A顺时针旋转α°得到∠AE′D′，且0°＜α＜90°，点D′在直线l₃上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AD′C′B′，使点B′、C′分别在直线l₂、l₄上．

①写出∠B′AD′与α的函数关系并给出证明；

②若α＝30°，求菱形AD′C′B′的边长．

综合题困难

(1) 如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的顶点E，F分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上，高 $\text{[math]}$ 与正方形的边长相等，求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M，N是 $\text{[math]}$ 边上的任意两点，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 位置，连接 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3) 在图①中，连接 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点M，N，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通