定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．图1 图2

1. 定义：若线段上的一个点把这条线段分成 $\text{[math]}$ 的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．

图1 图2

(1) 如图1，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的一个三等分点，满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

(2) 如图2，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，两点同时出发，都以每秒 $\text{[math]}$ 的速度沿射线 $\text{[math]}$ 方向运动 $\text{[math]}$ 秒．

①当 $\text{[math]}$ 为何值时，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的三等分点．

②在点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 开始出发的同时，点 $\text{[math]}$ 也从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 的速度沿射线 $\text{[math]}$ 方向运动，在运动过程中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的三等分点，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

线段的中点; 一元一次方程的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图①，已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别从点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时出发，点 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位长度的速度沿射线 $\text{[math]}$ 匀速运动，点 $\text{[math]}$ 先以每秒4个单位长度的速度从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，到达点 $\text{[math]}$ 后，再以每秒3个单位长度的速度沿射线 $\text{[math]}$ 匀速运动，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 第二次重合时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时停止运动．设点 $\text{[math]}$ 运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 线段 $\text{[math]}$ 的长为．

(2) 当点Q返回到点B时，求t的值．

(3) 在点Q从点B向点A的运动过程中，当 $\text{[math]}$ 时，求t的值．

(4) 如图②，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动过程中，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积相等时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 长为2，宽为a的长方形纸片 $\text{[math]}$ ，用如图所示的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第一次操作）；再把剩下的长方形用同样的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的纸片为正方形，则操作终止．当 $\text{[math]}$ 时，求a的值．

综合题普通

3. 定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成1：2两部分，这条射线叫做这个角的内倍分线.

(1) 如图1，OM 是∠AOB 的一条内倍分线，满足∠BOM = 2∠AOM，若∠AOB = 45°，求∠AOM 的度数.

(2) 已知∠AOB=60°，把一块含 60°角的三角尺 COD 按如图2叠放.将三角尺 COD 绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转 t秒（0<t<60）.

①t为何值时，射线OC 是∠AOD 的内倍分线?

②在三角尺 COD 转动的同时，射线 OB 以n度/秒（0<n<1）的速度绕点 O按逆时针方向旋转至OB'，在旋转过程中存在 OB'恰好同时是∠AOD，∠AOC 的内倍分线，请直接写出 n的值.

综合题困难