已知函数．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，试判断函数 $\text{[math]}$ 的零点个数，并给出证明．

【考点】

函数恒成立问题; 利用导数研究函数的单调性; 导数在最大值、最小值问题中的应用; 函数零点存在定理;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ 有两个不相等的零点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

①证明： $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小；

②证明： $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

解答题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ .

(1) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 若曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 恰有一个交点，求 $\text{[math]}$ 取值范围.

解答题困难