已知函数是定义域上的奇函数，且．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义域上的奇函数，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 判断并证明函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；

(2) 令函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有两个零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

函数单调性的判断与证明; 函数的零点与方程根的关系;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$

(1) 用单调性定义证明： $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 有3个零点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，

①求证： $\text{[math]}$ ；

②求 $\text{[math]}$ 的值（ $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数）.

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ 的单调性，并证明你的结论；

(2) 若方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有解，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通

3. 已知关于x的函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值 $\text{[math]}$ ；

(2) 如果函数 $\text{[math]}$ 同时满足：

①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；

②在函数的定义域内存在区间 $\text{[math]}$ ，使得函数在区间 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$ ．

则我们称函数 $\text{[math]}$ 是该定义域上的“闭函数”．

（i）若关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 是“闭函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（ii）判断（1）中 $\text{[math]}$ 是否为“闭函数”？若是，求出 $\text{[math]}$ 的值或关系式；若不是，请说明理由．

解答题困难