在正方形中，为对角线上任意一点（不与重合）连接，过点M作交（或的延长线）于点N，连接．感知：如图①，当M为中点时，容易证（不用证明）；

1. 在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 上任意一点（不与 $\text{[math]}$ 重合）连接 $\text{[math]}$ ，过点M作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ 的延长线）于点N，连接 $\text{[math]}$ ．

感知：如图①，当M为 $\text{[math]}$ 中点时，容易证 $\text{[math]}$ （不用证明）；

(1) 探究：如图②，点M为对角线 $\text{[math]}$ 上任意一点（不与 $\text{[math]}$ 重合）请探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论．

(2) 应用：
直接写出 $\text{[math]}$ 的面积S的取值范围；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等腰三角形的判定与性质; 正方形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＋∠EAD＝180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE，CD，F为BE的中点，连接AF.

(1) 如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF；

(2) 当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．

综合题困难

2. 已知在△ABC与△ABD中，AC=BD，∠C=∠D=90°，AD与BC交于点E，

(1) 求证AE=BE；

(2) 若AC=3，AB=5，求△ACE的周长．

综合题普通

3. 已知锐角三角形ABC内接于⊙O，AD⊥BC，垂足为D．

(1) 如图1， $\text{[math]}$ ，BD＝DC，求∠B的度数；

(2) 如图2，BE⊥AC，垂足为E，BE交AD于点F，过点B作BG∥AD交⊙O于点G，在AB边上取一点H，使得AH＝BG．求证：△AFH是等腰三角形．

综合题困难