二次函数——初中数学中考一轮分层训练

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二次函数——初中数学中考一轮分层训练

共 26 题 ; 46人浏览 ; 中考阶段

2026-03-04

发布测评 / 在线自测

一、基础题(共12题，共70分)

1. (2025·滨州)当自变量x>1时，下列函数y随x的增大而增大的是（）

A. y=-3x B. $\text{[math]}$ C. y=3x+1 D. $\text{[math]}$

单选题容易

2. (2025·威海)已知点（﹣2，y₁），（3，y₂），（7，y₃）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）²+c的图象上，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（　　）

A. y₁＞y₂＞y₃ B. y₁＞y₃＞y₂ C. y₂＞y₁＞y₃ D. y₃＞y₂＞y₁

单选题容易

3. (2025·攀枝花) 关于抛物线y＝-x²+6x-7，下列说法正确的是（）

A. 开口向上 B. 对称轴是直线x＝-3 C. 与y轴的交点坐标是（0，7） D. 顶点坐标是（3，2）

单选题普通

4. (2025·甘孜)对于抛物线y＝2（x﹣1）²+3，下列说法正确的是（　　）

A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（1，3） C. 抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 D. 当x＞﹣3时，y随x的增大而增大

单选题普通

5. (2025·泰安) 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是（）

A. 当x≥1000时，y随x的增大而减小 B. 当x=2000时，y有最大值 C. 当y≥0.6时，x≥1000 D. 当y=0.4时，x=600

单选题普通

6. (2025·上海市)抛物线 $\text{[math]}$ 向下平移两个单位所得的抛物线解析式为.

填空题容易

7. (2023·包头)已知二次函数 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在该函数的图象上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

填空题容易

8. (2023·哈尔滨)抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴的交点坐标．

填空题容易

9. (2025·连云港)已知二次函数y=x²+2（a+1）x+3a²-2a+3，a为常数.

(1) 若该二次函数的图象与直线y=2a²有两个交点，求a的取值范围；

(2) 若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；

(3) 求证：该二次函数的图象不经过原点.

解答题普通

10. (2025·淮安)已知二次函数 $\text{[math]}$ （m为常数）．

(1) 若点 $\text{[math]}$ 在该函数图象上，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；

(3) 若该函数图象上有两个点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出p的取值范围．

解答题普通

11. (2024九上·安宁月考)如图，A、B为一次函数 $\text{[math]}$ 的图像与二次函数 $\text{[math]}$ 的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数 $\text{[math]}$ 的图像上的动点，且位于直线 $\text{[math]}$ 的下方，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求b、c的值；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值．

解答题普通

12. (2025·南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.

材料一

租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A 型客车比每辆B型客车多载客15人；用A 型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.

材料二

A 型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆.优惠方案：租用A 型客车m辆，租车费用（3200-50m）元/辆；租用B型客车，租车费用打八折.

材料三

租车公司最多提供8辆A型客车；

学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆.

(1) A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?

(2) 本次研学活动学校的最少租车费用是多少?

阅读理解普通

二、能力题(共11题，共89分)

13. (2025·泸州)已知抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的交点位于 $\text{[math]}$ 轴下方，且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

14. (2025·乐山)已知二次函数y＝x²+4x+m的图象经过A（x₁ ， y₁）、B（x₂ ， y₂）两点，有下列结论：

①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2；

②当m＜4时，二次函数的图象与x轴有两个交点；

③若y₁＜y₂ ，则|x₁+2|＞|x₂+2|；

④当x≥﹣2时，二次函数的图象与y＝2x﹣1的图象有两个交点，则﹣1≤m＜0．

其中，正确的结论有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

单选题普通

15. (2025·广安) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ (a，b，c 为常数， $\text{[math]}$ ) .的图象交 x 轴于 A，B 两点，点 A 的坐标是 (-1，0)，点 B 的坐标是 (n，0)，有下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ 关于 x 的方程 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .其中正确的有（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

单选题普通

16. (2025·凉山州)二次函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，其对称轴为 $\text{[math]}$ ，且图象经过点 $\text{[math]}$ ，则下列结论错误的是 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点都在抛物线 $\text{[math]}$ 的图象上，则 $\text{[math]}$

单选题普通

17. (2025·徐州)如图为二次函数y＝ax²+bx+c的图象，下列代数式的值为负数的是（写出所有正确结果的序号）．

①a；

②2a+b；

③c；

④b²﹣4ac；

⑤a﹣b+c．

填空题普通

18. (2024·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3与x轴相交于点A ， B ，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为．

填空题普通

19. (2025·无锡)已知二次函数y＝﹣ $\text{[math]}$ m（m≠0）图象的顶点为A ，与y轴交于点B ，对称轴与x轴交于点C ．

(1) 若该函数图象经过点 $\text{[math]}$ ，求点A的横坐标；

(2) 若m＜3，点P（2，y₁）和Q（4，y₂）在该函数图象上，证明：y₁＞y₂；

(3) 若△ABC是等腰三角形，求m的值．

综合题普通

20. (2025·常州)如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图像分别与x轴y抽交于点A、B，点C是线段AB上一点C与B不重合）.二次函数 $\text{[math]}$ （a，b，c是常数，且 $\text{[math]}$ ）的图像经过点B，顶点是C.将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B'、C分别是B、C的对应点，且点B'落在x轴正半轴上，点C'的纵坐标为-2.

(2) 求点C的坐标；

(3) 已知新抛物线与y抽交于点G（0， $\text{[math]}$ ）点D（3，y₁）、E（x₂ ， y₂）在新抛物线上，若对于满足 $\text{[math]}$ 的任意实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 总成立，求实数m的取值范围.

解答题普通

21. (2025·青海)在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A ， B两点，点B的坐标为(1，0)，点 C(2，5)在抛物线上.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) ①求点A的坐标；

②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围；

(3) 连接AC交y轴于点D ，在y轴上是否存在点 P ，使 $\text{[math]}$ 是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由.

综合题普通

22. (2025·资阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边)，与y轴相交于点C（0，-3)且抛物线的顶点坐标为（1，-4)

(1) 求抛物线的表达式；

(2) P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，-1)，连接BC、DP相交于点E，连接PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；

(3) M、N是抛物线上的两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为G.H.是否存在点M，N、使得以M，N、G、H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由。

综合题困难

23. (2025·西宁)如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ，点A的坐标是(-1，0)，以原点为中心，把点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到点A'.

(1) 直接写出A'点的坐标和抛物线的对称轴；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，y有最大值为 $\text{[math]}$ ，求抛物线的解析式；

(3) 在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A'， P， M， N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

综合题困难

三、拓展题(共3题，共31分)

24. (2025·江西)问题背景：对于一个函数，如果存在自变量 $\text{[math]}$ 时，其对应的函数值 $\text{[math]}$ ，那么我们称该函数为“不动点函数”，点 $\text{[math]}$ 为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数 $\text{[math]}$ 中，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则我们称函数 $\text{[math]}$ 为“不动点函数”，点 $\text{[math]}$ 为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．

探究1

(1) 对一次函数 $\text{[math]}$ 进行探究后，得出下列结论：

① $\text{[math]}$ 是“不动点函数”，且只有一个不动点；

② $\text{[math]}$ 是“不动点函数”，且不动点是 $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ 是“不动点函数”，且有无数个不动点．

以上结论中，你认为正确的是 ▲ （填写正确结论的序号）．

(2) 若一次函数 $\text{[math]}$ 是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件．

对二次函数 $\text{[math]}$ 进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．

某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件 $\text{[math]}$ 元出售，可卖出 $\text{[math]}$ 件，获得利润 $\text{[math]}$ 元．请写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．

实践探究题普通

25. (2025·德州)综合与实践

【活动背景】

数学活动课上，老师提供了如下素材：

某窗户生产厂家要用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架ABCD（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．

【活动任务】

结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．

【方案一】

甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的5：3．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽AB ．

【方案二】

乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．

实践探究题普通

26. 【项目式学习】

项目主题：设计落地窗的遮阳篷.

项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度AB=2m，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳篷的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务.

方案 1：直角形遮阳篷

如图，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷BCD，点C在AB 的延长线上，CD⊥AC.

(1) 若BC=0.5m，CD=1m，则支撑杆BD=m.

(2) 小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β.小明查阅资料，计算出 $\text{[math]}$ 为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与 BD 平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与AD平行)，请求出图②中BC，CD的长度.

(3) 方案2：抛物线形遮阳篷

如图，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将CD 边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷(F 为抛物线的顶点，DF段可伸缩)，且∠CFD=90°，BC，CD的长保持不变.若以C为原点，CD方向为x轴，BC方向为y轴.

①求该二次函数的表达式；

②若某时刻太阳光与水平地面的夹角θ的正切值 $\text{[math]}$ 为使阳光最大限度地射入室内，求遮阳篷点 D上升高度的最小值(即点 D'到CD 的距离).

实践探究题困难