人教版八年级下数学进阶测试 20.1 勾股定理及其应用（三阶）

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人教版八年级下数学进阶测试 20.1 勾股定理及其应用（三阶）

共 17 题 ; 7人浏览 ; 八年级下学期

2026-02-04

发布测评 / 在线自测

一、选择题(共6题，共18分)

1. (2025八上·柯桥期末)如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题困难

2. 如图，桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高6厘米，底面周长为 16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁与A相对的点 P 处有一只小虫，小虫离杯底的距离为1.5厘米，则小虫爬到蜜糖 A 处的最短路程是( )

A. $\text{[math]}$ 厘米 B. 10厘米 C. 8 $\text{[math]}$ 厘米 D. 8厘米

单选题困难

3. 我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A=90°，BD=4，CF=6，设正方形ADOF的边长为x，则 $\text{[math]}$ ( )

A. 12 B. 16 C. 20 D. 24

单选题困难

4. (2023·四川模拟)如图，在 $\text{[math]}$ 中，P为平面内的一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A. $\text{[math]}$ B. 36 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题困难

5. (2024八上·南湖月考)将一个等腰三角形 $\text{[math]}$ 纸板沿垂线段 $\text{[math]}$ 进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（　　）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. 10 D. $\text{[math]}$

单选题困难

6. (2024八上·武义期末)如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以该三角形的三条边为边向外作正方形 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，给出下列结论： $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 其中正确的结论个数是( )

A. $\text{[math]}$ 个 B. $\text{[math]}$ 个 C. $\text{[math]}$ 个 D. $\text{[math]}$ 个

单选题困难

二、填空题(共5题，共18分)

7. (2025九上·南山月考)在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝2．D为直线AB上一点，以CD为边在CD右侧作等边△CDE ，连接BE ．当△BDE为等腰三角形时，则AD的长为．

填空题困难

8. (2025八上·舟山期中) 如图， Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=30°， AC=2， D为BC边上一动点， EF垂直平分AD 分别交AC于E，交AB于 F. 当CD=1时，连结DF，则△BDF的周长为；当D为BC上任意一点时，取AB中点 G，则AD+GD 的最小值为 .

填空题困难

9. 如图，AD∥BC，∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，点M为BC的中点，点E，F在边AB，CD上运动，点 P 在线段 MC 上运动，连接EF，EP，PF，则△EFP周长的最小值为.

填空题困难

10. (2025·湖州模拟)如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是BC的中点， $\text{[math]}$ 是边AB上的一点，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ＇关于直线DE对称，点 $\text{[math]}$ 恰好在边AC上，连结 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是．

填空题困难

11. (2024八上·金东期末)在一次综合实践活动中，小明将6个边长为1的小正方形进行如下操作：第一次操作，三个小正方形一组，边重叠拼接成如图1所示的2个“ $\text{[math]}$ 型”；第二次操作，将这2个“ $\text{[math]}$ 型”顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合，并且使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线，摆放成如图2所示的图形；第三次操作，将图2中的新图形放置在长方形纸片 $\text{[math]}$ 中，此时发现，小正方形的顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都落在长方形 $\text{[math]}$ 的各边上，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题困难

三、解答题(共6题，共71分)

12. (2023八上·椒江期末)如图，有人在岸上点 $\text{[math]}$ 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 米，拉动绳子将船从点 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 方向行驶到点 $\text{[math]}$ 后，绳长 $\text{[math]}$ 米．

(1) 试判定 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

(2) 求船体移动距离 $\text{[math]}$ 的长度．

(3) 若在BD段拉动船的速度为1米/秒，到达D后增加了人力，拉动船的速度变为2米/秒，求把船从B拉到岸边A点所用时间．

解答题困难

13. (2024八下·庐江期中)某校八（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ ，他们进行了如下操作：

①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为12米；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为20米；

③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．

(1) 求风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ ；

(2) 如果小明想风筝沿 $\text{[math]}$ 方向再上升4米，则他应该再放出多少米线?（结果保留根号）

解答题困难

14. (2024八下·大理期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲！如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c．

(1) 请利用“赵爽弦图”证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若大正方形的面积为20，小正方形面积为4，求其中一个直角三角形的面积．

解答题普通

15. (2024八上·南海期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

(1) ①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

(2) ①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 $\text{[math]}$ 的有______个；

②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直角三角形面积为 $\text{[math]}$ ，请判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的关系并证明；

(3) 如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：

① $\text{[math]}$ ______．

②b与c的关系为______，a与d的关系为______．

解答题困难

16. (2025八上·南海月考)【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形 $\text{[math]}$ 的面积为2，则这个格点正方形的边长为 $\text{[math]}$ ．

【问题解决】

(1) 图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ．

(2) 在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为 $\text{[math]}$ 的格点正方形．

(3) 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的整数部分， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的小数部分，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

17. (2025八上·义乌期中)如图1，在△ABC中， AB=AC， BD 是边AC上的高线， CD=1， AD=4.

(1) 求AB， BC的长.

(2) 若P 是射线DA上的一动点，作 PE⊥BC于点E，连结DE，

①如图2，当点 P在线段AD上时，若△CDE 是等腰三角形，求DP 的长度；

②设直线 PE交直线AB于点 F，连结 DF， BP，若 $\text{[math]}$ 则BP长为 (直接写出结果).

综合题困难