人教版九（上）数学第二十一章一元二次方程单元测试培优卷

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共 23 题 ; 134人浏览 ; 九年级上学期

2025-09-30

发布测评 / 在线自测

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共10题，共30分)

1. (2024九上·潮南月考)把方程 $\text{[math]}$ 化成 $\text{[math]}$ 的形式，则 $\text{[math]}$ （　　）

A. 17 B. 14 C. 11 D. 7

单选题普通

2. (2024九上·惠州期末)关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根的情况是（）

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

单选题普通

3. (2024·石家庄模拟)在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（）

A. x²=10²+（x-5-1）² B. x²＝（x﹣5）²+10² C. x²＝10²+（x+1-5）² D. x²＝（x+1）²+10²

单选题普通

4. (2025九上·上城开学考)若α，β是方程x²﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α²+β²的值为（　　）

A. 10 B. 9 C. 7 D. 5

单选题普通

5. (2022九上·东乡区期中)某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为 $\text{[math]}$ 亿元，若设平均每月的增长率为 $\text{[math]}$ ，根据题意可列方程（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

6. (2025九下·北京市开学考)已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有实数根，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

7. (2024·东营模拟)如图，在长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 $\text{[math]}$ ，则小路的宽是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

8. (2024九上·南山开学考)如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是边 $\text{[math]}$ 中点，F是边 $\text{[math]}$ 上一动点，G是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（　　）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题困难

9. (2024九上·蔡甸期中)关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

单选题困难

10. (2022九下·泉州开学考)已知x，y为实数，且满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的最大值为M，最小值为m，则 $\text{[math]}$ （）.

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题困难

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.(共5题，共15分)

11. (2025九上·温州开学考)一元二次方程3x（x-1）=x-1的解是.

填空题普通

12. (2024九上·武侯期中)已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

13. (2024九上·长沙月考)如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为m.

填空题普通

14. (2024九上·江岸月考)若 $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，多项式 $\text{[math]}$ 的值是．

填空题普通

15. (2024九上·武汉月考)关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 范围内有且只有一个根，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

填空题困难

三、解答题：本大题共8小题，共75分.(共8题，共100分)

16. (2024九上·武威月考)已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的两个不相等的实数根．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是整数，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

17. (2024九下·新宁开学考)如图，老李想用长为 $\text{[math]}$ 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 $\text{[math]}$ ，并在边 $\text{[math]}$ 上留一个 $\text{[math]}$ 宽的门（建在 $\text{[math]}$ 处，另用其他材料）．

(1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 $\text{[math]}$ 的羊圈？

(2) 羊圈的面积能达到 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

解答题普通

18. (2023九上·齐齐哈尔期末)某水果商店销售一种进价为30元/千克的优质水果，若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．

(1) 当售价为45元/千克时，每月销售水果______千克；

(2) 当每月利润为5250元时，这种水果的售价为多少？

(3) 当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？

解答题普通

19. (2024九上·汉川月考)2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）

类别

价格

A款钥匙扣

B款钥匙扣

进货价（元/件）

销售价（元/件）

(1) 网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；

(2) 第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

(3) 冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？

解答题普通

20. (2024九上·五华期中)如图，平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．线段 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 填空： $\text{[math]}$ ______，点 $\text{[math]}$ 的坐标是______；

(2) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

(3) 动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿对角线 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，直到点 $\text{[math]}$ 为止；动点 $\text{[math]}$ 同时从点 $\text{[math]}$ 出发，沿对角线 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，直到点 $\text{[math]}$ 为止．设两个点的运动时间均为 $\text{[math]}$ 秒．

$\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积；

$\text{[math]}$ 当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 运动至四边形 $\text{[math]}$ 为矩形时，请求出此时 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

21. (2024九上·平凉月考)阅读下列材料：

解方程： $\text{[math]}$ ．

解：①当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．即 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）， $\text{[math]}$ ；

②当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．即 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）， $\text{[math]}$ ；

综上所述，原方程的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

仿照上边例题的解法，解方程： $\text{[math]}$ ．

阅读理解普通

22. (2025·潮阳模拟)综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形硬纸板做收纳盒．

【任务要求】

任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．

任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两边恰好重合且无重叠部分．如图2．

【问题解决】

(1) 若任务一中设计的收纳盒的底面积为 $\text{[math]}$ ，剪去的小正方形的边长为多少 $\text{[math]}$ ？

(2) 若任务二中设计的该收纳盒的底面积为 $\text{[math]}$ ．

①该收纳盒的高是多少 $\text{[math]}$ ？

②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．

实践探究题普通

23. (2025九上·宝安开学考) “数形结合”是数学中的一种基本思想方法.我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”.下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元3～4世纪）和公元9世纪的阿拉伯数学家阿尔•花拉子在解一元二次方程x²+2x-35=0即x（x+2）=35时的做法为例加以说明.

【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为x ， x+2且面积为x（x+2）=35的矩形构造成图1形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+2+x）²=4×35+2² ，从而得到一个正数解x=5.阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x ， 1的矩形构造出图2的形状（面积为x²+2x=35）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+1）²=（x²+2x）+1²=35+1，从而得到一个正数解x=5.

(1) 图1中，小正方形的边长为 ▲ ，将图2中补充完整（补充的部分用阴影表示）；

(2) 【类比迁移】小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程方程x²+6x-55=0.

①请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线段的长；（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充）

②请分别根据所画图形，求出方程x²+6x-55=0的一个正数解.

（注：需要写出必要的推算过程）

(3) 【拓展应用】一般地，形如x²+ax=b的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解.

实践探究题困难