浙教版数学九年级上学期重难点复习1:圆(一)

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浙教版数学九年级上学期重难点复习1:圆(一)

共 25 题 ; 386人浏览 ; 九年级上学期

2025-09-30

发布测评 / 在线自测

一、定点定长辅助圆模型(共8题，共21分)

1. (2023九上·海珠期末)如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 边上的动点，点M是点A关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）．

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

单选题普通

2. 如图，在 Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，并且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上的动点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，则点 $\text{[math]}$ 到边 $\text{[math]}$ 距离的最小值是（）

A. 1.5 B. 1.2 C. 2.4 D. 以上都不对

单选题困难

3. 如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC 上，且AD=2，E 是AB 上的动点，连结DE，F，G分别是BC，DE的中点，连结AG，FG，当AG=FG时，线段DE 的长为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. 4

单选题困难

4. 如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（）

A. $\text{[math]}$ π B. $\text{[math]}$ π C. $\text{[math]}$ π D. 2π

单选题普通

5. (2023九上·秀屿期中)如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A. 5 B. 6 C. 8 D. 13

单选题困难

6. (2025八下·义乌月考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F ，连接B'D ，则B'D的最小值是．

填空题普通

7. (2024·海曙模拟)如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 上异于端点的动点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将四边形 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折叠得到四边形 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 落在平行四边形 $\text{[math]}$ 的边上时， $\text{[math]}$ 的长为．

填空题困难

8. (2024八下·凉州期末)如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是边 $\text{[math]}$ 的中点，点F是边 $\text{[math]}$ 上的一个动点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称，连接 $\text{[math]}$ ．当点G恰好落在矩形 $\text{[math]}$ 的对称轴上时， $\text{[math]}$ 的长为．

填空题困难

二、定角定弦辅助圆模型(共10题，共44分)

9. (2025九上·上城开学考)如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题困难

10. (2024九上·新昌期中)如图，等腰 $\text{[math]}$ 内接于圆O，直径 $\text{[math]}$ ， D是圆上一动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G．下列结论：① $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③当 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ；④当 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 的周长最大，正确的有（）

A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①③④

单选题困难

11. 如图，在等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内部的一个动点，且满足 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长的最小值为（）

A. 2 B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题困难

12. (2024九上·深圳开学考)如图，E ， F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足 $\text{[math]}$ ．连接CF交BD于点G ，连接BE交AG于点H ．若正方形的边长为1，则线段DH长度的最小值是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题困难

13. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，现有一根长为 $\text{[math]}$ 的木棒 $\text{[math]}$ 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则水棒 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 在运动过程中所围成的图形的面积为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题困难

14. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别是CD，BC边上的动点，且始终满足 DE=CF，DF 与 AE 相交于点 G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角三角形 AHG，使得∠AHG=90°，连结BH，则BH的最小值为 ( )

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

15. (2024九上·浙江期中)如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则 $\text{[math]}$ 的长为.

填空题普通

16. (2023九上·兴化期中)如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是第一象限内 $\text{[math]}$ 右上方的一动点，且满足 $\text{[math]}$ ．若点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

填空题困难

17. (2024·杭州模拟)如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以C为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆.点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M.

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求劣弧PQ的度数；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求AD的长；

(3) 连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

①证明： $\text{[math]}$ .

②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.

解答题困难

18. (2023九上·天津市月考)如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为中心将矩形 $\text{[math]}$ 旋转任意角度，得到矩形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点分别为 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图②，当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图③，若矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ 请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

三、四点共圆模型(共7题，共30分)

19. (2025·拱墅模拟)如图，矩形ABCD的对角线交于点O，线段EF不经过点O，且EF∥BC，EF分别与边AB，CD交于点G，H，EG=FH，连接AE.若AD=2，EF=4，点O在线段AE的垂直平分线上，则 AG·GB 是（）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

单选题普通

20. (2025·萧山模拟)如图，E是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上一动点（不与C，D重合），连结 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ．给出下列结论：① $\text{[math]}$ ；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（）

A. ①，②都对 B. ①，②都错 C. ①对，②错 D. ①错，②对

单选题困难

21. (2025·柯桥二模)如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥AC，交BC于点D，点F是AB上的点，且满足DB=DF，连接CF，若AC=5，CF=6，则CD=.

填空题困难

22. (2024九上·杭州开学考)如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．下列结论：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③△ $\text{[math]}$ 的周长为12，④ $\text{[math]}$ ，其中正确的结论有．

填空题困难

23. (2023九下·宁波月考)如图，矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在AB上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在BC边上运动，以线段EF为嵞边在点 $\text{[math]}$ 的异侧作等腰 $\text{[math]}$ ，

使B、E、G、F四点共圆.连接BG、CG

(2) 当CG最小时， $\text{[math]}$

填空题困难

24. (2024九上·拱墅期中)综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点B ， D ，连接AD ， AB ， BC ， CD ，如果∠B＝∠D ，那么A ， B ， C ， D四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点A ， C ， D的⊙O ，在劣弧AC上取一点E（不与A ， C重合），连接AE ， CE ，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）

∵∠B＝∠D

∴∠AEC+∠B＝180°

∴点A ， B ， C ， E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

∴点B ， D在点A ， C ， E所确定的⊙O上（依据2）

∴点A ， B ， C ， D四点在同一个圆上

(1) 反思归纳：

上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：；依据2：．

(2) 如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为．

(3) 拓展探究：

如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC ，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD ．作点C关于AD的对称点E ，连接EB并延长交AD的延长线于F ，连接AE ， DE ．

①求证：A ， D ， B ， E四点共圆；

②若AB＝2 $\text{[math]}$ ， AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

实践探究题困难

25. (2024·珠海模拟)综合与实践“求真”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B ， D ，连接AD ， AB ， BC ， CD ，如果 $\text{[math]}$ ，那么A ， B ， C ， D四点在同一个圆上．

探究展示：如图2，作经过点A ， C ， D的 $\text{[math]}$ ，在劣弧AC上取一点E（不与A ， C重合），连接AE ， CE ，则 $\text{[math]}$ （依据1）

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 点A ， B ， C ， E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），

$\text{[math]}$ 点B ， D在点A ， C ， E所确定的 $\text{[math]}$ 上（依据2），

$\text{[math]}$ 点A ， B ， C ， D四点在同一个圆上．

反思归纳：

(1) 上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：；依据2：．

(2) 如图3，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为．

(3) 拓展探究：

如图4，已知 $\text{[math]}$ 是等腰三角形， $\text{[math]}$ ，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD ．作点C关于AD的对称点E ，连接EB并延长交AD的延长线于F ，连接AE ， DE ．

①求证：A ， D ， B ， E四点共圆；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

实践探究题困难