阅读材料：解方程：．我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为①，解得．当时，．当时，．原方程的解为．根据上面的解答，解决下面的问题：

1.阅读材料：

解方程： $\text{[math]}$ ．我们可以将 $\text{[math]}$ 视为一个整体，然后设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，原方程化为 $\text{[math]}$ ①，解得 $\text{[math]}$ ．

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 原方程的解为 $\text{[math]}$ ．

根据上面的解答，解决下面的问题：

(1) 填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了的数学思想；

(2) 解方程； $\text{[math]}$ ．

【考点】

因式分解法解一元二次方程; 换元法解一元二次方程; 数学思想;

【答案】

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实践探究题未知普通

1.综合与实践

【项目学习】

配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．

例1：把代数式 $\text{[math]}$ 进行配方．

解：原式 $\text{[math]}$ ．

例2：求代数式 $\text{[math]}$ 的最大值．

解：原式 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ．

【问题解决】

(1) 若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 若等腰 $\text{[math]}$ 的三边长 $\text{[math]}$ 均为整数，且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．

(3) 如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的三边长，根据勾股定理可得 $\text{[math]}$ ，我们把关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 称为“勾系一元二次方程”．已知实数 $\text{[math]}$ 满足等式 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最小值是“勾系一元二次方程” $\text{[math]}$ 的一个根．四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的面积．

实践探究题未知困难

2.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整：

复习日记卡片

内容：一元二次方程解法归纳

时间：2023年9月26日

举例：求一元二次方程x²-x-2=0的两个解

(1) 方法一：选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式法)求解．

解方程：x²-x-2=0．

方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解

如图所示，把方程x2-x-2=0的解看成是二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标，即-1，2就是方程的解．

(3) 方法三：利用两个函数图象的交点求解

①把方程x²-x-2=0的解看成是一个二次函数y= 的图像与一个一次函数y=的图像交点的横坐标．

②画出这两个函数的图象，并在x轴上标出方程的解，

实践探究题未知普通

3.阅读材料：各类方程的解法：

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x³+x²-2x=0，可以通过因式分解把它转化为 $\text{[math]}$ ，解方程x=0和x²+x-2=0，可得方程x³+x²-2x=0的解.

(1) 问题：方程 $\text{[math]}$ 的解是： $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ = ， $\text{[math]}$ =；

(2) 拓展：用“转化”思想求方程 $\text{[math]}$ 的解；

(3) 应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长.

实践探究题常考题普通