英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

1.英国数学家泰勒发现了如下公式：

$\text{[math]}$

其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数， $\text{[math]}$ .以上公式称为泰勒公式.设 $\text{[math]}$ ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极小值点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

奇偶性与单调性的综合; 利用导数研究函数的单调性; 函数在某点取得极值的条件; 利用导数研究函数最大（小）值; 基本不等式在最值问题中的应用; 反证法与放缩法;

【答案】

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解答题未知困难

1.已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ .

(2) 若对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成立，求a的取值范围.

解答题常考题普通

2.已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有且仅有一个极值点，求a的取值范围．

解答题常考题困难

3.已知函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线的斜率为 $\text{[math]}$

(1) 求a的值；

(2) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值．

解答题未知普通